Estudiou no Seminario de Ourense e ordenouse en 1922. Posteriormente estudiou na Universidade Pontificia de Santiago, licenciándose en Teoloxía. Foi párroco de varias poboacións e profesor no Seminario de Ourense e Valladolid.En 1945 foi designado bispo de Mondoñedo, onde realizou un importante labor. Non obstante, ocupou este posto durante pouco tempo porque en 1949 foi nomeado arcebispo en Santiago e cardeal en 1952.Foi un dos grandes promotores da construcción e restauración da arquidiócese. En 1957 inaugurouse o Seminario Menor, iniciáronse as obras de restauración do Seminario Maior e seguiron as escavacións da catedral, onde se descubriu a tumba do bispo Teodomiro.Outra das súas grandes innovacións foi a introducción da liturxia en galego, sendo o primeiro cardeal que celebrou misa en galego. A Real Academia Galega nomeouno académico de honor pola súa defensa en favor de Galicia. O cardeal Quiroga creou o Instituto de Estudios Xacobeos e a súa revista Compostellanum.
Ademais doutros méritos na súa carreira eclesiástica, foi nomeado membro da comisión preparatoria do Concilio Vaticano II e primeiro presidente da Conferencia Episcopal Española.O cardeal Quiroga fomentou tamén as peregrinacións xacobeas durante a súa rexencia na diócese compostelá e loitou polos pobres, fomentando a creación de vivendas sociais e todo tipo de asistencia.