En Barcelona, a donde su familia se había trasladado siguiendo a su padre en calidad de secretario de la Junta de Obras del Puerto de la ciudad, obtiene el título de Bachiller en el Instituto Jaime Balmes.
Una vez superada la Guerra Civil, obtiene en 1940 el título de Licenciado en Derecho por la Universidad de Barcelona. Tras un año de preparación, supera con éxito, al primer intento, la oposición de Registrador de la Propiedad, función que ejercerá en distintos destinos hasta su jubilación en 1986.
En el ámbito de la empresa, Joaquín Arias y Díaz de Rábago ha sido consejero de diversas sociedades originariamente ligadas a Pedro Barrié de la Maza. En 1969 fue nombrado consejero del Banco Pastor, entidad de la que fue vicepresidente desde 1973 hasta 2002, en que abandona dichos cargos a petición propia siendo nombrado Consejero de Honor. En 1969 es nombrado consejero de Fenosa, integrando asimismo el consejo que surge de la fusión que dio lugar a Unión-Fenosa, entidad de la que sería además secretario y, hasta 1991, vicepresidente. Ha sido asimismo Consejero de Hullas de Coto Cortés, MZOV y La Toja, S.A.
Joaquín Arias ha contribuido a impulsar el desarrollo de Galicia a través de iniciativas culturales, educativas e investigadoras, casi siempre a través de la Fundación Pedro Barrié de la Maza. Colaborador de su hermana Carmela, Condesa de Fenosa y presidenta desde 1971 de la fundación creada por su marido Pedro Barrié de la Maza, Joaquín Arias actúa hasta 1999 como primer ejecutivo de la entidad, desde la cual impulsará programas pioneros para Galicia como la concesión de becas para todos los niveles de enseñanza según criterios de excelencia académica; la construcción y equipamiento de escuelas técnicas (la Técnica y la Superior de Arquitectura de La Coruña y la de Ingenieros Industriales de Vigo, germen de las futuras universidades de A Coruña y Vigo); la catalogación y publicación del patrimonio monumental, musical, documental y natural de Galicia; la introducción de nuevas tecnologías en la enseñanza; o emblemáticas recuperaciones de patrimonio artístico como las realizadas en torno a los instrumentos del Pórtico de la Gloria y el coro del Maestro Mateo.
Ha sido vocal del Centro de Cálculo Barrié de la Maza, del Instituto da Lingua Galega y del Instituto de Ciencias Neurológicas Pedro Barrié de la Maza de la Universidad de Santiago; presidente del Consejo Económico y Social de la Universidad de A Coruña; y presidente del Patronato de la Escuela Universitaria de Trabajo Social, adscrita a la Universidad de Santiago.
Además de vicepresidente de la Fundación Pedro Barrié de la Maza, ha sido vocal del ‘Consello da Cultura Galega’, vicepresidente de la Fundación Juana de Vega y vocal del Patronato del Museo de Pontevedra. Ha sido académico correspondiente de la Real Academia de Bellas Artes de Nuestra Señora del Rosario.
Es académico de la Academia Gallega de Jurisprudencia y Legislación, en la que ingresó con un discurso, posteriormente publicado, sobre “Las fundaciones españolas en el horizonte del 93”.
Entre las distinciones que recibió a lo largo de su vida destacan la de Caballero de la Orden Civil de San Gregorio Magno, concedida por Su Santidad el Papa; la Encomienda de Isabel la Católica; la Encomienda con placa de la Orden Civil de Alfonso X El Sabio, y el Premio “Montero Ríos” concedido por la Asociación de Juristas Gallegos en Madrid (IURISGAMA).